4.2 用数学归纳法证明不等式举例

　　学习目标

　　1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路．

　　2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n>1＋nx(x>－1，x≠0，n为大于1的自然数)．

　　3．了解n为实数时贝努利不等式也成立.

　　一、自学释疑

　　根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

　　二、合作探究

　　思考探究　

　　在应用贝努利不等式时应注意什么？

　　名师点拨：

　　1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解

　　当指数n推广到任意实数α时，x>－1时，

　　①若0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx.

　　②若α<0或α>1，则(1＋x)α≥1＋αx.

　　当且仅当x＝0时等号成立．

　　2．贝努利不等式的应用

　　贝努利不等式：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx.

　　推论：当x是实数，且x>－1，x≠0，n为不小于2的正整数时，有n>1－.

　　3．数学归纳法与其他方法的联系

　　数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证n＝k＋1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等．

　　4．用数学归纳法证明不等式时常用技巧

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n0的定位，要弄清楚n＝k和