立体几何中的向量法

学习目标　1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．

知识点一　直线的方向向量与平面的法向量

思考　怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

答案　(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量\s\up6(→(→)来表示．我们把向量\s\up6(→(→)称为点P的位置向量．

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量．

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得\s\up6(→(→)＝t\s\up6(→(→)，此方程称为直线的向量参数方程．

(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得\s\up6(→(→)＝xa＋yb.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示．

梳理　(1)直线的方向向量和平面的法向量

直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α的法向量 (2)空间中平行关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb (k∈R) 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv (k∈R) 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k∈R) 面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0 知识点二　利用空间向量处理平行问题

思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2