2.2.2 间接证明

互动课堂

疏导引导

1.反证法证明数学问题的理解

(1)反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误.从而结论正确.

(2)反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.

(3)反证法中的"反设"，这是应用反证法的第一步.也是关键一步."反设"的结论将是下一步"归谬"的一个已知条件."反设"是否正确、全面，直接影响下一步的证明.做好"反设"应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况.

例如 A：大于，：不大于；不大于即小于或等于，对这两种情况在下一步的"归谬"中应一一证明不成立.

(4)反证法的"归谬".它是反证法的核心.其含义是：从命题结论的假设(即把"反设"作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.

2.反证法证明问题的基本思路

用反证法证明结论是B的命题,其思路是：假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,若同时承认这个结果与题设条件,则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自"B的反面成立"这个假设,因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论,其中推出矛盾是证明的关键.

3.反证法所能证明的问题类型

数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反这是应用反证法的原则,即一个命题的结论如果难于直接证明时,可考虑用反证法.

另外,宜用反证法证明的题型还有：(1)一些基本命题、基本定理;(2)易导出与已知矛盾的命题;(3)"否定性"命题;(4)"唯一性"命题;(5)"必然性"命题;(6)"至多""至少"类的命题;(7)涉及"无限"结论的命题等等.

4.应用反证法证明问题时应注意的问题

(1)要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大),然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论,从这些结论中把原命题所含的结论剔除,就得到原命题的相反判断,如"是"的反面是"不是","有"的反面是"没有","等"的反面是"不等","成立"的反面是"不成立","有限"的反面是"无限",以上这些都是相互否定的字眼,较为易找,应注意以下的否定："都是"的反面为"不都是",即"至少有一个不是"(不是"都不是");"都有"的反面为"不都有",即"至少一个没有"(不是"都没有");"都不是"的反面为"部分是或全部是",即"至少有一个是"(不是"都是");"都没有"的反面为"部分有或全部有",即"至少一个有"(不是"都有").