第2课时　双曲线的几何性质及应用

学习目标　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解弦长问题．

知识点一　直线与双曲线的位置关系

思考　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？

答案　不能．

梳理　设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，②

把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.

(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．

Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；

Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；

Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．

知识点二　弦长公式

若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则

|AB|＝＝.

(1)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×)

(2)过点A(1,0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，这样的直线可作2条．(×)

(3)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点．(√)