课堂导学

三点剖析

1.两个向量数量积的坐标

【例1】 已知：a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0＜α＜β＜π)

求证：a+b与a-b互相垂直.

思路分析：要证（a+b）⊥(a-b),只要证两者的数量积为0，解题过程中要用到三角函数知识

证法一：由已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

有a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),

a-b=（cosα-cosβ,sinα-sinβ）,

又(a+b)·(a-b)

=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)

=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0,

所以（a+b）⊥(a-b).

证法二：∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),

∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2

=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)

=1-1=0.

∴(a+b)⊥(a-b).

友情提示

两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.

各个击破

类题演练 1

已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），求证：△ABC是直角三角形

证明:∵=（2-1，3-2）=（1，1）,

=（-2-1，5-2）=（-3，3）,

∴·=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥即AB⊥AC

∴△ABC是直角三角形.

变式提升 1

已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标.

解析：设b=(x,y)为所求单位向量

则x2+y2=1①

又∵a⊥b

∴a·b=(4,2)·(x,y)=4x+2y=0

∴4x+2y=0②

由①②得