空间向量的数量积运算
学习目标 1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
知识点一 空间向量数量积的概念
思考 如图所示,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,类比平面向量有关运算,如何求向量\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)的数量积?并总结求两个向量数量积的方法.
解 ∵\s\up6(→(→)=\s\up6(→(→)-\s\up6(→(→),
∴\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)=\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)-\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)
=|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos〈\s\up6(→(→),\s\up6(→(→)〉-|\s\up6(→(→)||\s\up6(→(→)|cos〈\s\up6(→(→),\s\up6(→(→)〉
=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=24-16.
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时,可用已知夹角和长度的向量来表示该向量,再代入计算.
梳理 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b) 交换律 a·b=b·a 分配律 a·(b+c)=a·b+a·c
(3)空间向量的夹角
①定义:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作\s\up6(→(→)=a,\s\up6(→(→)=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作〈a,b〉.②范围:〈a,b〉∈[0,π].特别地:当〈a,b〉=时,a⊥b.
知识点二 空间向量的数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0 ②若a与b同向,则a·b=|a|·|b|;若反向,则a·b=-|a|·|b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=