第2课时　等比数列的性质

学习目标　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

知识点一　等比数列通项公式的推广

思考　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.

等比数列也有类似变形吗？

答案　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N＋).

梳理　公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1或qn－m＝，即an＝am·qn－m.

知识点二　由等比数列衍生的等比数列

思考　等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是

(1){3an}是等比数列；

(2){3＋an}是等比数列；

(3)是等比数列；

(4){a2n}是等比数列.

答案　由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.

梳理　(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，...，kn，...成等差数列，那么是等比数列.

(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列.

知识点三　等比数列的性质

思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？

答案　∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，

∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，

∴a＝a1a9成立.

同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立.

梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋).

若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N＋).