典题精讲

例1已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2，则a与b的夹角为( )

A. B. C. D.

思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.

∵cos〈a，b〉==，〈a，b〉∈［0，π］，

∴〈a，b〉=.

答案:C

绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：

(1)计算b·a，|a|，|b|；

(2)计算cos〈a，b〉；

(3)根据范围确定夹角的大小.

变式训练1若|a|=1，|b|=，(a-b)⊥a，则向量a与b的夹角为( )

A.30° B.45° C.90° D.135°

思路解析:设a与b的夹角为θ，∵(a-b)·a=0，

∴ |a|2-b·a=0.∴b·a=1.

∴cosθ==.又∵0°≤θ≤180°，∴θ=45°.

答案:B

变式训练 2 已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?

思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.

解：设a与b的夹角为θ，

∵a=(1，)，b=(+1，-1)，

∴a·b=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2.

∴cosθ==.又∵0≤θ≤π，∴θ=，即a与b的夹角是.

变式训练 3 已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.

思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出a·b与|a|、|b|即可.

解： ∵(a+3b)⊥(7a-5b)，

∴(a+3b)·(7a-5b)=0.

∴7a2+16a·b-15b2=0.①

又∵(a-4b)⊥(7a-2b)，

∴(a-4b)·(7a-2b)=0.

∴7a2-30a·b+8b2=0.②