数系的扩充和复数的概念

[学习目标]　1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.

知识点一　复数的引入

在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋bi|a，b∈R}，称i为虚数单位.

思考　 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.

(2)虚数单位i有哪些性质？

答案　(1)在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).

在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)

＝(x2＋5)(x＋)(x－).

在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)

＝(x2＋5)(x＋)(x－)

＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－).

(2)虚数单位i有如下几个性质：

①i的平方等于－1，即i2＝－1；

②实数与i可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；

③i的乘方：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).

知识点二　复数的概念、分类

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.

(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.

(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.

2.复数的分类及包含关系