§3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示

　　知识点一 向量基底的判断

　　已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，那么向量a＋b，a－b，c能构成空间的一个基底吗？为什么？

　　解 ∵a＋b，a－b，c不共面，能构成空间一个基底．

　　假设a＋b，a－b，c共面，则存在x，y，

　　使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.

　　从而由共面向量定理知，c与a，b共面．

　　这与a、b、c不共面矛盾．

　　∴a＋b，a－b，c不共面．

　　【反思感悟】 解有关基底的题，关键是正确理解概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底．

以下四个命题中正确的是( )

　　A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

　　B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

　　C．△ABC为直角三角形的充要条件是·\s\up6(→(→)＝0

　　D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

　　答案 B

　　解析 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·\s\up6(→(→)＝0，可能是\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，也可能是\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.

知识点二 用基底表示向量

在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，－*6]·\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，\s\up6(→(→)＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：

　　（1） ； (2)\s\up6(→(→)；

　　(3) ； (4)\s\up6(→(→).

解 连结AC、AD′.