课堂导学

三点剖析

一、平面向量的数量积

关于向量的数量积,注意:

(1)我们不说两个向量的积,而说是它们的数量积或者内积;

(2)规定:零向量与任一向量的数量积为0;

(3)两个向量的数量积是一个数量,向量a、b的数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关;

(4)向量的数量积的结果是一个数量,可以等于正数、负数、零,而向量的加法和减法的结果还是一个向量;

(5)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分开来,当中的"·"不能省略;

(6)当〈a,b〉为锐角时,a·b>0;当〈a,b〉为直角时,a·b=0;当〈a,b〉为钝角时,a·b<0;

(7)有些向量的数量积有一定的含义,如向量F、s的数量积,就是力F移动位移s所做的功.

【例1】 已知|a|=4，|b|=5，且a与b的夹角为60°.

求：（1）a·b；（2）（a+b）2；

（3）（a-b）2；（4）a2-b2.

思路分析：利用两向量数量积公式a·b=|a||b|cosθ、|a|2=a2及运算律计算.

解析:（1）a·b=|a||b|cosθ=4×5×cos60°=10.

（2）（a+b）2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61.

(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=42-20+52=21.

（4）a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9.

类题演练 1

已知|a|=4，|b|=5.当（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.

思路分析:确定夹角θ运用数量积的公式列式求解.

解:（1）a∥b.若a与b同向，则θ=0,a·b=|a||b|cos0°=4×5=20.

若a与b反向，则θ=180°,a·b=|a||b|cos180°=4×5×(-1)=-20.

(2)当a⊥b时，θ=90°,a·b=|a||b|cos90°=0.

(3)当a与b的夹角为30°时，a·b=|a||b|cos30°=.

变式提升 1

在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,求·.

思路分析:要求、,关键是确定与的夹角.

解:如图(1),在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,所以直角边AB==2.