2.1.4　数乘向量

学习目标：1.掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．(重点)2.理解数乘向量的运算律．(重点)3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．数乘向量

(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.

(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．

(3)运算律：

设λ，μ为实数，则

①(λ＋μ)a＝λa＋μa；

②λ(μa)＝(λμ)a；

③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．

2．向量的线性运算

向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．

思考：数乘向量与实数的乘法有什么区别？

[提示]　(1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.

(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．

[基础自测]

1．判断(正确的打"√"，错误的打"×")

已知a，b是两个非零向量．

(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍．(　　)

(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的.(　　)