3.1.2　空间向量的基本定理

学习目标　1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．

知识点一　共线向量定理与共面向量定理

1．共线向量定理

两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.

2．向量共面的条件

(1)向量a平行于平面α的定义

已知向量a，作\s\up6(→(→)＝a，如果a的基线OA平行于平面α或在α内，则就说向量a平行于平面α，记作a∥α.

(2)共面向量的定义

平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

(3)共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.

知识点二　空间向量分解定理

1．空间向量分解定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.

2．基底

如果三个向量a，b，c是三个不共面的向量，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，这时a，b，c叫做空间的一个基底，记作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表达式xa＋yb＋zc，叫做向量a，b，c的线性表示式或线性组合.

1．向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．(　×　)

2．若向量e1，e2不共线，则空间任意向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)．(　×　)

3．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　×　)

4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　×　)