导数与函数的单调性

【课标学习目标】

1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．

2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．

3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)

[目标解读]

1．重点是利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．

2．难点是利用导数证明一些简单不等式．

【情境引入】

中国是世界上人口最多的发展中国家．人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情，统筹解决人口问题始终是中国实现经济发展、社会进步和可持续发展面临的重大而紧迫的战略任务．从20世纪70年代以来，中国政府坚持不懈地在全国范围推行计划生育基本国策，鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子，依照法律法规合理安排生育第二个子女．经过30年的努力，有效地控制了人口过快增长，实现了人口再生产类型由高出生率、低死亡率、高自然增长率向低出生率、低死亡率、低自然增长率的历史性转变．研究人口增长问题需要用到导数，从下图可以看出中国人口每增长2亿人所经历的时间越来越短．函数的单调性与导数有怎样的关系呢？

　　提示：导数的符号决定函数的单调性．

【新知探究】

1．在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．利用导数判别函数的单调性的法则如下：

如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)>0，则f(x)在这个区间上________；如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)<0，则f(x)在这个区间上________．