4.3 直线与圆锥曲线的交点

自主整理

1.由曲线方程的定义可知,对于曲线C1:f(x,y)=0和曲线C2:g(x,y)=0,由于M(x0,y0)是C1与C2的一个交点___________,所以,求两条曲线C1与C2的交点,就是求方程组___________的实数解.

2.方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有___________;方程组没有实数解,两条曲线就___________.

高手笔记

1.直线与椭圆的位置关系

(1)位置关系:相交,相切,相离.

(2)判别方法:通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,对解的个数进行讨论.通常消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程.

①Δ>0直线与椭圆相交有两个公共点;

②Δ=0直线与椭圆相切有且只有一个公共点;

③Δ<0直线与椭圆相离无公共点.

2.直线与双曲线的位置关系

(1)研究直线与双曲线的位置关系,一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组

对解的个数进行讨论:有两组不同的实数解(Δ>0)时,直线与双曲线相交;有两组相同的实数解(Δ=0)时,直线与双曲线相切;无实数解(Δ<0)时,直线与双曲线相离.

(2)当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点.

3.直线与抛物线的位置关系

(1)直线与抛物线有三种位置关系:相交,相切,相离.

相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物线的对称轴平行.

相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线不平行于抛物线的对称轴.

相离:直线与抛物线没有公共点.

(2)判别方法:把直线的方程和抛物线的方程联立起来得到一个方程组,于是:

①方程组有一组解直线与抛物线相交或相切(1个公共点);

②方程组有两组解直线与抛物线相交(2个公共点);

③方程组无解直线与抛物线相离.

4.弦长问题

连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,设弦AB端点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为k,则

|AB|=|y1-y2|.

5.最值问题

求最值问题大致可分为两类:一是涉及距离,面积的最值问题;二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.

在探求最值时,常结合几何图形的直观性,充分利用平面几何结论,借助于函数的单调性,基本不等式等使问题获解.同时,要注意未知数的取值范围,最值存在的条件.

名师解惑