典题精讲

例1 一条弦的长度等于半径r，求:

(1)这条弦所对的劣弧长；

(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

思路分析:解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定.由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解即可求弧长，弓形面积可以由扇形面积减三角形面积求得.

解:(1)如图1-1-1，因为半径为r的圆O中弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=.则弦AB所对的劣弧长为r.

图1-1-1

(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，

S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2，

∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-r2=(-)r2.

绿色通道:图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把扇形看成三角形与弓形的组合，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从图中，从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口.

变式训练

地球赤道的半径是6 370 km，所以赤道上1′的弧长是____________(精确到0.01 km).

思路解析:1′= rad，弧长l=r|α|=6 370××=1.85(km).

答案:1.85 km

例2 已知α为第三象限角，则所在的象限是( )

A.第一或第二象限

B.第二或第三象限

C.第一或第三象限

D.第二或第四象限

思路解析:因为第三象限角与-π之间的角并不等价，由α在第三象限,α应在区间(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z)内，要判定在第几象限，需分k是奇数，k是偶数两种情况去