一 比较法

知识梳理

1.比较法的种类

比较法一般分为两种:_________和_________.

2.作差比较法

(1)作差比较法的证明依据:___________________.

(2)基本步骤:①_________;②_________;③_________;④_________.

3.作商比较法

(1)作商比较法的证明依据:___________________.

(2)基本步骤:①_________;②_________;③_________;④_________.

知识导学

比较法是证明不等式的最基本,最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用.在其一般步骤中,变形是证明推论中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断等号或分子分母的大小关系,而不是考虑变形后的表达式能否化简或值是多少.变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.

一般地,证明幂,指数不等式时常用"商值比较"法,证明对数不等式时常用"差值比较法".当"差"或"商"式中含有参数时,一般情况下都要对参数的取值进行分析,应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性.

疑难突破

1.比较大小关系的一般方法

在比较大小关系的问题中,很多情况下是可以直接作差或作商比较的,但是为了得到准确的结果,可以先用特殊值赋值的方法对最后的结果进行预猜,这样在比较的过程中,不会因为疏忽或其他原因造成结果的错误,尤其是在多个数或数学式比较大小时,为避免两两比较的烦琐,可以提前预测,再进行比较.还有一类较为特殊的比较大小问题,如数列问题中,两个数或数学式的大小可能会随一些变量或参数的不同范围而发生变化,这就要注意对相关问题的讨论,大小关系一定或不一定,是首先应判断的.

2.作商比较法中的符号问题

在作商比较法中,>1b>a是不正确的,这与a,b的符号有关,比如若a,b>0,由>1,可得b>a,但若a,b<0,则由>1得出的反而是b

典题精讲

【例1】 已知a≥1,求证.

思路分析：因不等式两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用求差法进行证明.又因为a≥1,所以不等式两边都大于0,故还可以用作商法进行证明.

证法一：∵()-()

=<0,

∴.