1.3.1　函数的单调性与导数(二)

学习目标　1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．

1．函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减

特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．

②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上

导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较"陡峭"(向上或向下) 越小 慢 比较"平缓"(向上或向下)

3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题

(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．

(2)注意"临界点"和"间断点"：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．

(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用"∪"连接，而只能用"逗号"或"和"字等隔开．

1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)

2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　√　)