课堂探究
探究一 利用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明等式时,要注意弄清楚等式两边的构成规律,例如:等式两边的项数是多少,项的多少与n的关系是什么,由n=k到n=k+1时项数增加多少项,增加怎样的项等.
【典型例题1】 用数学归纳法证明:+++...+=(n∈N+).
证明:(1)当n=1时,左边==,右边==,
左边=右边,所以等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即
+++...+=,
则当n=k+1时,
+++...++
=+=
===.
所以当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)知等式对n∈N+成立.
探究二 用数学归纳法证明不等式
运用数学归纳法证明不等式时,在利用了归纳假设后,要注意根据欲证目标,灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明.
【典型例题2】 用数学归纳法证明:1+++...+>(其中n∈N+,n>1).
思路分析:按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明,在由n=k证n=k+1成立时,可利用比较法或放缩法证得结论.
证明:(1)当n=2时,左边=1+,右边=,-=1->0,所以左边>右边,即不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即
1+++...+ >,则当n=k+1时,