三角函数模型的简单应用

【学习目标】

1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；

2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

【要点梳理】

要点一：三角函数模型的建立程序

要点二：解答三角函数应用题的一般步骤

解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．

（1）审题

三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．

（2）建模

根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．

（3）解模

利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．

（4）结论

将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．

要点诠释：

实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．

【典型例题】

　　类型一：三角函数周期性的应用

　　例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．

　　（1）试确定在时间t min时P点距离地面的高度；

　　（2）在摩天轮转动的一圈内，有多少时间P点距离地面超过70 m？