函数的极值与导数

[学习目标]　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.

知识点一　函数极值的概念

1.极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.

2.极大值点与极大值

如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

思考　(1)可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？

(2)函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？

答案　(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即"函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件".

可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)符号不同.如果在x0的两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点.

(2)不一定.

知识点二　求可导函数f(x)的极值方法与步骤

1.求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

2.求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).