2019-2020学年北师大版选修2-1 提高空间向量的数量积 学案

　　【学习目标】1. 掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。

　　　　　　　　　2. 能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。

　　　　　　　　　3. 能用向量的数量积判断向量的垂直．

　　【要点梳理】

要点一、空间向量的数量积

1．两个向量的数量积．

　　　　已知两个非零向量a、b，则|a|·|b|cos〈a，b〉叫做向量a与b的数量积，记作a·b，

　　即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．

　　 要点诠释：

（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．

（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．

（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．

（3）空间向量数量积的性质

　　设是非零向量，是单位向量，则

①；

②；

③或；

④；

⑤

3．空间向量的数量积满足如下运算律：

（1）（a）·b=（a·b）；

（2）a·b=b·a（交换律）；

　　（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）．

　　要点诠释：

（1） 对于三个不为0的实数a、b、c，若a·b=a·c，则b=c；对于三个不为0的向量，

若不能得出，即向量不能约分．

（2） 若a·b=k，不能得出（或），就是说，向量不能进行除法运算．

（3） 对于三个不为0的实数，a、b、c有（ab）c=a（bc），对于三个不为0的向量a、b、c，