2019-2020学年北师大版选修2-3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教案

典例精析

题型一　分类加法计数原理的应用

【例1】 在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有　　种取法.

【解析】当一个加数是1时，另一个加数只能是20，有1种取法；

当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20，有2种取法；

当一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20，有3种取法；

......

当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12，...，19,20，有10种取法；

当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13，...，19,20，有9种取法；

......

当一个加数是19时，另一个加数只能是20，有1种取法.

由分类加法计数原理可得共有1＋2＋3＋...＋10＋9＋8＋...＋1＝100种取法.

【点拨】采用列举法分类，先确定一个加数，再利用"和大于20"确定另一个加数.

【变式训练1】(2013济南市模拟)从集合{1,2,3，...，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)

A.3 B.4 C.6 D.8

【解析】当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为、、时，也有4个.故选D.

题型二　分步乘法计数原理的应用

【例2】 从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有　　　种.

【解析】能去张家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4×5×4×3＝240种.

【点拨】根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步之间既不能重复也不能遗漏.

【变式训练2】(2010湘潭市调研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有　　种不同的排法.

【解析】依题意，值班表须一天一天分步完成.第一天有5人可选有5种方法，第二天不能用第一天的人有4种方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4种方法，由分步乘法计数原理共有5×4×4×4×4＝1 280种方法.

题型三　分类和分步计数原理综合应用

【例3】(2012长郡中学)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有　　　　.

【解析】方法一：由题意知，有且仅有两个区域涂相同的颜色，分为4类：1与5同；2与5同；3与5同；1与3同.对于每一类有A种涂法，共有4A＝96种方法.