第2课时　等差数列前n项和公式的变形及应用

学习目标　1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.

知识点一　等差数列前n项和与等差中项的关系

思考　等差数列{an}中，若a3＝2，求S5.

答案　S5＝＝5·＝5a3＝10.

梳理　等差数列{an}的前n项和Sn＝，其中为a1，an的等差中项，若结合性质"m＋n＝p＋q得am＋an＝ap＋aq，"还可把a1＋an换成a2＋an－1，a3＋an－2，....

知识点二　等差数列前n项和的最值

思考　我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的前n项和Sn何时有最大值？何时有最小值？

答案　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.

梳理　等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关.

(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.

(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.

(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.

1.等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(×)

2.等差数列{an}的前n项和Sn＝(n≥3).(√)

3.若等差数列{an}的前n项和为Sn，则为等差数列.(√)