"直线的倾斜角和斜率"教案设计 一、内容和内容解析

　　内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。

　　内容解析：本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。

　　倾斜角从几何角度描述了直线的倾斜程度。课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出倾斜角概念。

　　斜率从代数角度描述了直线的倾斜程度。课本借助"坡度"引出斜率概念。定义给出了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。

　　直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，这就是经过两点直线的斜率公式。

　　"坐标法"与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

　　教学重点：斜率概念及公式。

二．目标和目标解析

　　目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，并能结合三角函数掌握它们之间的关系；掌握过两点的直线的斜率公式。

　　目标解析：

　　1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。结合动画演示，明确倾斜角的取值范围。

2.借助坡度概念引出斜率概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识。

　　3.能根据斜率的概念，掌握倾斜角和斜率之间的关系，并能根据斜率的两个计算公式，求出直线的斜率。

　　4．初步了解坐标平面内的图形是如何进行量化和代数化的，了解"坐标法"。

三．教学问题诊断分析

　　1．两点确定一条直线是学生知道的。但如何认识直角坐标系这一"参照系"下确定直线的几何要素，对学生来说有点困难。所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的直线之间的不同点，再类比实际生活中描述航线的实际例子，从而发现需要增加的量，以及如何描述这个量，最后形成倾斜角的概念。

　　2．引入斜率的概念时，教学中可充分利用学生已有的知识（坡度概念），引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。因为在这节课里学生是初步接触坐标法，所以应将重点放在引导学生体会如何从形转化到数的过程上，知道倾斜角和斜率都可以刻画直线的倾斜程度。

　　3．在学习完倾斜角、斜率的概念及其关系后，再来探究已知两点求直线的斜率公式时，学生不会觉得困难。需要注意的是要通过对有坐标系决定的直线的四类位置及P1，P2两点位置顺序的讨论，渗透分类讨论的思想。

　　教学难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解。

四．教学条件支持

　　为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。

五．教学过程设计

（一）开篇语

　　引导性语言：在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。课后请同学们阅读课本P111《笛卡儿与解析几何》，进一步了解解析几何。

　　那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形？如与x平行或垂直的直线，开口向右或左的抛物线，圆等等。

设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识"生长点"，引导学生用"坐标法"的思想来思考新的问题。

（二）课题引入

　　引导性语言：我们先研究坐标平面内最简单的图形--直线。为此，我们先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来。

设计意图：使学生明确本课学习的内容。

（三）探究新知

1．倾斜角概念

问题1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？

设计意图：明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

师生活动：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。

问题2：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？

设计意图：引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。

问题3：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。

师生活动：引导学生把重点放在"如何描述直线倾斜程度"的问题上。启发学生发现可以用直线与x轴的夹角来描述直线的倾斜程度，促成概念的形成。师生共同给出倾斜角的概念。

问题4：依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。

师生活动：学生思考作答，教师可借助多媒体课件的直观演示，让学生明确倾斜角的范围。

问题5：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。

师生活动：通过多媒体课件的演示，引导学生明确每条直线都有倾斜角，在已知一点和一个倾斜角的情况下，唯一确定一条直线。

2．斜率概念

　　引导性语言：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。

问题6：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

设计意图：基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。

师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，教师适时给出游乐场里的水滑梯，大桥的引桥等教学情景。

问题7：（1）观察图4对应的几何图形（图5，6），我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？

　　（2）观察图7，坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？

设计意图：引导学生发现，坡的陡峭程度与升高量和前进量有关。

师生活动：学生观察图片并交流，教师参与讨论。

问题8：从上面的讨论，我们发现，如果使用"倾斜角"的概念，"坡度"实际就是"倾斜角α的正切值"。由此你认为除了倾斜角还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念。

师生活动：从实际图片中抽象出几何图形，然后观察升高量和前进量的变化引起坡度改变的过程。再引导学生得出坡度的计算方法，坡度（比）=。最后通过类比，引导学生把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来，从而引入"斜率"这一概念。

问题9：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？

设计意图：沟通数形关系，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

师生活动：引导学生发现斜率是倾斜角的正切值，因此结合函数图象（图8），学生总结出斜率与倾斜角之间的变化关系。引导学生发现不是所有直线都有斜率。

3．斜率公式

问题10：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，那么你能用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)（其中x1≠x2）的坐标来表示该直线的斜率吗？

设计意图：让学生自己探索发现：两点确定一条直线，直线确定，直线的倾斜角与斜率也就确定了，说明直线的斜率可以用两点坐标来表示，只要找到倾斜角的正切值与坐标的关系。

师生活动：教师给出直线上两点的坐标，请两位同学到黑板上板演，其余同学在下面完成；学生根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式。师生共同评析。

问题11：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。

师生活动：总结两点式斜率计算公式：k=（x1≠x2）。

（四）应用举例

例1.如下图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

师生活动：学生动笔计算出答案教师引导学生可以结合倾斜角和斜率的函数关系图，分析倾斜角和斜率的关系。

变式1.直线的斜率为k，倾斜角为α，若＜α＜，则k的范围（ ）

A.（-1，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）C.[-1，1] D. （-∞，-1]∪[1，+∞）

变式2.设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1

A．（-,） B. C.（0，）∪（，）D.

设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。

例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。

设计意图：要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。

师生活动：引导学生根据已知条件分析解决方法，因为直线过原点，所以只要再找出另外一点直线就可以确定了。在推导斜率公式时，学生已经知道，斜率k的值与直线上的两点位置无关，因此，由已知直线的斜率画直线时，可以再找一个特殊点，比如可以使其横坐标等于1，给计算带来方便。

（五）课堂小结

（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们间有什么关系？

（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？

（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？

设计意图：培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

师生活动：让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调"坐标法"是解决解析几何问题的基本方法。

六、目标检测设计

1．已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。

2．已知直线y=xsinθ-1，求该直线倾斜角范围。

3．在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150o,求点P坐标。

4．求证：点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一条直线上。

设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。