第3课时　深化提能--与圆有关的综合问题

　　圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．

与圆有关的轨迹问题 　　

　　[典例]　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

　　(1)求线段AP中点的轨迹方程；

　　(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

　　[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

　　因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

　　故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.

　　(2)设PQ的中点为N(x，y)．

　　在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.

　　设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

　　所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

　　故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

　　[方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的4种方法

　　[针对训练]

　　1．(2019·厦门双十中学月考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)

　　A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　 　B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

　　C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析：选A　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，