平面向量的数量积

【学习目标】

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；

【要点梳理】

要点一： 平面向量的数量积

1. 平面向量数量积(内积)的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.

2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.

要点诠释：

1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号"· "在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用"×"代替.

(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.

2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.

要点二：平面向量数量积的几何意义

数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。

事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所