互动课堂

疏导引导

1.向量内积的坐标运算

建立正交基底{e1,e2}，已知a=（a1,a2）,b=(b1,b2),则

a·b=（a1e1+a2e2）(b1e1+b2e2)

=a1b1e12+(a1b2+a2b1)·e1·e2+a2b2e22

因为e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0,故a·b=a1b1+a2b2.

疑难疏引 （1）两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和，并且此式是正交基底{e1,e2}下实现的.

（2）引入坐标后，实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.

2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件

设a=（a1,a2）,b=(b1,b2),如果a⊥b，则a1b1+a2b2=0；反之，若a1b1+a2b2=0,则a⊥b；当a⊥b时，若b1b2≠0,则向量（a1,a2）与（-b2,b1）平行，这是因为a⊥b，a1b1+a2b2=0.即a1b1=-a2b1,,两向量平行的条件是相应坐标成比例，所以（a1,a2）与（-b2,b1）平行，特别的向量k(-b2,b1)与向量（b1,b2）垂直，k为任意实数，例如向量（3，4）与向量（-4，3），（-8，6），（12，-9）......都垂直.

疑难疏引 设a=（a1，a2）,b=(b1，b2)

a1b1+a2b2=0a⊥b且a1⊥ba1b1+a2b2=0.

3.向量的长度、距离和夹角公式

（1）已知a=（a1,a2）,则

|a|2=a2=a12+a22,即

|a|=.

语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.

若A(x1y2),B(x2y2),则=(x2-x1,y2-y1)

||=,

此式可视为A、B两点的距离公式.

（2）设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),

故cos〈a,b〉=

该处夹角公式是非零向量的夹角公式.

活学巧用

【例1】 设a=（4，-3），b=（2，1），若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.

解析：利用a·b=|a|·|b|·cosθ建立方程，解方程即可.

a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3)

(a+tb)·b=（4+2t,t-3）·(2,1)=5t+5.

|a+tb|=

由(a+tb)·b=|a+tb|·|b|·cos45°