本讲优化总结

　　,　　　　　　　　[学生用书P61])

　　　用数学归纳法证明恒等式[学生用书P62]

　　证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式--凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式--凑结论．

　　　用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋...＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．

　　【证明】　(1)当n＝1时，

　　左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．

　　(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即

　　12－22＋32－42＋...＋(2k－1)2－(2k)2

　　＝－k(2k＋1)，

　　则当n＝k＋1时，

　　12－22＋32－42＋...＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2

　　＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3

　　＝－(k＋1)(2k＋3)

　　＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，

　　即当n＝k＋1时，等式成立．

由(1)(2)可知，对任何n∈N＋等式都成立．