3.2.1 古典概型

项目 内容 课题 3.2.1 古典概型

　　　　　　　　　　　　（共 1 课时） 修改与创新 教学

目标 1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神.

2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P（A）=的使用条件--古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣,形成学习数学知识的积极态度.

教学重、

难点 教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

教学

准备 多媒体课件 教学过程

(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即"正面朝上"或"反面朝上",它们都是随机事件.

(2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,...,10,从中任取一球,只有10种不同的结果,即标号为1,2,3，...,10.

思考讨论根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？

为此我们学习古典概型,教师板书课题.

推进新课

新知探究

提出问题

试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币,分别记录"正面朝上"和"反面朝上"的次数,要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总；

试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子,分别记录"1点""2点""3点""4点""5点"和"6点"的次数,要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数）,最后由学科代表汇总.

（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？

（2）根据以前的学习,上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？

（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？

（4）什么是古典概型？它具有什么特点？

（5）对于古典概型,应怎样计算事件的概率？

活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果,并与同学交流活动感受,讨论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受.

讨论结果：（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好,因为需要进行大量的试验,同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概率,存在一定的误差.

（2）上述试验一的两个结果是"正面朝上"和"反面朝上",它们都是随机事件,出现的概率是相等的,都是0.5.上述试验二的6个结果是"1点""2点""3点""4点""5点"和"6点",它们也都是随机事件,出现的概率是相等的,都是.

（3）根据以前的学习,上述试验一的两个结果"正面朝上"和"反面朝上",它们都是随机事件；上述试验二的6个结果"1点""2点""3点""4点""5点"和"6点",它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件（elementary event）；它是试验的每一个可能结果.

基本事件具有如下的两个特点：

①任何两个基本事件是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

（4）在一个试验中如果

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classical models of probability）,简称古典概型.

向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么？

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点,试验的所有可能结果数是无限的,虽然每一个试验结果出现的"可能性相同",但这个试验不满足古典概型的第一个条件.

如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环......命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？

不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9环......命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满足古典概型的第二个条件.

（5）古典概型,随机事件的概率计算

对于实验一中,出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即

P（"正面朝上"）=P（"反面朝上"）

由概率的加法公式,得

P（"正面朝上"）+P（"反面朝上"）=P（必然事件）=1.

因此

P（"正面朝上"）=P（"反面朝上"）=.

即P（"出现正面朝上")=.

试验二中,出现各个点的概率相等,即

P（"1点"）=P（"2点"）=P（"3点"）=P（"4点"）=P（"5点"）=P（"6点"）.

所以P（"1点"）=P（"2点"）=P（"3点"）=P（"4点"）=P（"5点"）=P（"6点"）=.

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如,

P（"出现偶数点"）=P（"2点"）+P（"4点"）+P（"6点"）=++==.

即P（"出现偶数点"）=.

因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出,古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）=.

在使用古典概型的概率公式时,应该注意：

①要判断该概率模型是不是古典概型；

②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

下面我们看它们的应用.

应用示例

例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件？

活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.

解：基本事件共有6个:

A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}.

点评：一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方法.

分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.

变式训练

用不同的颜色给下图中的3个矩形随机地涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:

(1)3个矩形颜色都相同的概率；

(2)3个矩形颜色都不同的概率.

分析：本题中基本事件比较多,为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画图枚举如下：（树形图）

解：基本事件共有27个.

(1)记事件A="3个矩形涂同一种颜色",由上图可以知道事件A包含的基本事件有1×3=3个,故P(A)=.

(2)记事件B="3个矩形颜色都不同",由上图可以知道事件B包含的基本事件有2×3=6个,故P(B)=.

答：3个矩形颜色都相同的概率为；3个矩形颜色都不同的概率为.

例2 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做,他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？

活动：学生阅读题目,搜集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考查内容,这都不满足古典概型的第2个条件--等可能性,因此,只有在假定学生不会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型.

解：这是一个古典概型,因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D,即基本事件共有4个,考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P（"答对"）==0.25.

点评：古典概型解题步骤:

（1）阅读题目,搜集信息；

（2）判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；

（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；

（4）用公式P(A)=求出概率并下结论.

变式训练

1.两枚均匀硬币,求出现两个正面的概率.

解：样本空间：{甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反}.

n=4,m=1,P=.

2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率.

解法一:设表示"出现点数之和为奇数",用(i,j)记"第一颗骰子出现i点,

第二颗骰子出现j点",i,j=1,2,...6.显然出现的36个基本事件组成等概样本空间,其中A包含的基本事件个数为k=3×3+3×3=18,故P(A)=.

解法二:若把一次试验的所有可能结果取为：（奇,奇）,（奇,偶）,（偶,奇）,（偶,偶）,则它们也组成等概率样本空间.基本事件总数n=4,A包含的基本事件个数k=2,故P(A)=.

解法三:若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数},{点数和为偶数},也组成等概率样本空间,基本事件总数n=2,A所含基本事件数为1,故P(A)=.

注：找出的基本事件组构成的样本空间,必须是等概率的.解法2中倘若解为：（两个奇）,（一奇一偶）,（两个偶）当作基本事件组成样本空间,则得出P(A)=,错的原因就是它不是等概率的.例如P（两个奇）=,而P（一奇一偶）=.本例又告诉我们,同一问题可取不同的样本空间解答.

例3 同时掷两个骰子,计算：

(1)一共有多少种不同的结果?

(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?

(3)向上的点数之和是5的概率是多少?

解：(1)掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个骰子的结果共有36种.

(2)在上面的所有结果中,向上的点数之和为5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果,第二个数表示2号骰子的结果.

(3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得P(A)=.

例4 假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,...,9十个数字中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码,问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少?

解：一个密码相当于一个基本事件,总共有10 000个基本事件,它们分别是0000,0001,0002,...,9998,9999.随机地试密码,相当于试到任何一个密码的可能性都是相等的,所以这是一个古典概型.事件"试一次密码就能取到钱"由1个基本事件构成,即由正确的密码构成.所以P("试一次密码就能取到钱")=.

发生概率为的事件是小概率事件,通常我们认为这样的事件在一次试验中是几乎不可能发生的,也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很小的.但我们知道,如果试验很多次,比如100 000次,那么这个小概率事件是可能发生的.所以,为了安全,自动取款机一般允许取款人最多试3次密码,如果第4次键入的号码仍是错误的,那么取款机将"没收"储蓄卡.另外,为了使通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小,现在储蓄卡可以使用6位数字作密码.

人们为了方便记忆,通常用自己的生日作为储蓄卡的密码.当钱包里既有身份证又有储蓄卡时,密码泄密的概率很大.因此用身份证上的号码作密码是不安全的.

例5 某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,问质检人员从中随机抽出2听,检测出不合格产品的概率有多大?

解：我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.

依次不放回地从箱中取出2听饮料,得到的两个标记分别记为x和y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A表示"抽出的2听饮料中有不合格产品",A1表示"仅第一次抽出的是不合格产品",A2表示"仅第二次抽出的是不合格产品",A12表示"两次抽出的都是不合格产品",则A1,A2和A12是互不相容的事件,且A=A1∪A2∪A12,从而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12).

因为A1中的基本事件的个数为8,A2中的基本事件的个数为8,A12中的基本事件的个数为2,全部基本事件的总数为30,所以P(A)==0.6.

知能训练

本节练习1、2、3.

拓展提升

一个各面都涂有色彩的正方体,被锯成1 000个同样大小的小正方体,将这些正方体混合后,从中任取一个小正方体,求：（1）有一面涂有色彩的概率；（2）有两面涂有色彩的概率；（3）有三面涂有色彩的概率.

解：在1 000个小正方体中,一面涂有色彩的有82×6个,两面涂有色彩的有8×12个,三面涂有色彩的有8个,∴（1）有一面涂有色彩的概率为P1==0.384；

（2）有两面涂有色彩的概率为P2==0.096；

（3）有三面涂有色彩的概率为P3==0.008.

答：（1）一面涂有色彩的概率为0.384；（2）有两面涂有色彩的概率为0.096；（3）有三面涂有色彩的概率为0.008.

课堂小结

1.古典概型

我们将具有

（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

这样两个特点的概率模型称为古典概率概型,简称古典概型.

2.古典概型计算任何事件的概率计算公式

P（A）=.

3.求某个随机事件A包含的基本事件的个数和实验中基本事件的总数的常用方法是列举法（画树状图和列表）,应做到不重不漏.

习题3.2 A组1、2、3、4.