§1周期现象与周期函数

课前导引

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【问题】 周期函数都有最小正周期吗？

思路分析:并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C（C为常数）x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，所以f(x)没有最小正周期.再如函数D(x)=

设r是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+r也是有理数，当x是无理数时，x+r也是无理数，D(x)与D(x+r)或者等于1或者等于0，因此在两种情况下，都有D(x+r)=D(x)，所以D(x)是周期函数，r是D(x)的周期，由于r可以是任一有理数，而正有理数集合中没有最小值，所以D(x)没有最小正周期.

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一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.

（1）定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)都不能说T是y=f(x)的周期.例如：sin(+)=sin，但是sin(+)≠sin，就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx的周期.

（2）从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是T才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x+T)=f［2(x+T2)］=f(2x)，则是y=f(x)的周期.

（3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.

（4）周期函数的周期不止一个，若T是周期，则nT(n∈N*)一定也是周期.