_1.4计数应用题

排列问题 　　[例1]　3个女生和5个男生排成一排．

　　(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

　　(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

　　(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？

　　(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？

　　(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？

　　[思路点拨]　本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置，相邻问题可采用捆绑法，不相邻问题可采用插空法．

　　[精解详析]　(1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有A种不同排法．对于其中的每一种排法，3个女生之间又有A种不同的排法，因此共有A·A＝4 320种不同的排法．

　　(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，再把3个女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于5个男生排成一排有A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有A种方法，因此共有A·A＝14 400种不同的排法．

　　(3)法一：(特殊位置优先法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有A种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有A种排法，所以共有A·A＝14 400种不同的排法．

　　法二：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法，所以共有A－2A·A＋A·A＝14 400种不同的排法．

　　法三：(特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，有A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有A种不同的排法，所以共有A·A＝14 400种不同的排法．

(4)法一：因为只要求两端不能都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受