2019-2020学年人教A版必修二 空间几何体的表面积与体积 学案

典例精析

题型一　表面积问题

【例1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.

【解析】设圆锥的半径为R，母线长为l，圆柱的半径为r，轴截面如图，

S圆锥＝π(R＋l)R ＝π(R＋R)R＝(π＋π)R2，

S圆柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，

又＝，所以＝，

所以＝.

【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.

【变式训练1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m).

(1)试画出它的直观图；

(2)求它的表面积和体积.

【解析】(1)直观图如图所示.

(2)该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.

题型二　体积问题

【例2】 某人有一容积为V，高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少？

【解析】 如图，破损处为D、E，且AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 则容器内所剩油的最大值为几何体ABC－DB1E的体积.

因为＝，而＝，

由三棱柱几何性质知＝V， ＝，

所以＝V，

又因为＝，所以 VD－ABC＝·＝，