§2 充分条件与必要条件

自主整理

1."若p则q"为真命题,它是指当p成立时,q一定成立.换句话说,p成立可以推出q成立,即pq,此时我们称p是q的_______________.

2.我们学过如下定理:若四边形的对角线相互平分,则它是平行四边形.我们把这样的定理称作_______________,判定定理是数学中一类重要的定理.在判定定理中,条件是结论的_______________.

3."若p则q"为真命题是指:当p成立时,q一定成立,即pq,q必须成立,我们称q是p的_______________.

4.在数学中,我们还常常讨论一类事物有什么性质.例如,函数y=x2有什么性质等,我们把这样的定理称作_______________,性质定理也是数学中一类重要的定理.在性质定理中,"定理的结论"是"定理的条件"的_______________.

5."若p则q"为真命题,即pq,那么p是q的_______________,q是p的_______________.

6.如果"pq",并且"qp",通常记作_______________,我们称p是q的_______________,简称_______________.

7.我们常用"当且仅当"来表达充要条件.p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立.如果p、q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们通常称命题p和命题q是两个___________________.

高手笔记

一、充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系.

1.从逻辑推理关系上看.

(1)若pq,但qp,则p是q的充分而不必要条件;

(2)若qp,但pq,则p是q的必要而不充分条件;

(3)若pq,且qp(或pq且pq),则p是q的充要条件;

(4)若pq,且qp,则p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.

对充要条件的理解和判断,要搞清楚其定义实质:若pq,则p是q的充分条件,所谓"充分",即要使q成立,有p成立足够了;若qp,则p是q的必要条件,所谓"必要",即p是q成立的必不可少的条件,缺其不可!例如:"学生"是"中学生"的必要条件,而"中学生"是"学生"的充分条件.

2.从集合与集合之间关系上看.

(1)若AB,则A是B的充分条件;

(2)若AB,则A是B的必要条件;

(3)若A=B,则A是B的充要条件;

(4)若AB是BA,则A既不是B的充分条件,也不是B的必要条件.

设A={x|x∈p},B={x|x∈q},即x具有性质p,则x∈A,若x具有性质q,则x∈B.如果AB,就是说若x∈A,则x∈B,即x具有性质p,则x必具有性质q,即pq;类似地,A=B与pq等价.

图1-2-1

例如,A={中学生},B={学生},AB,即某人是中学生,必是学生,若不是学生,必不是中学生,所以"某人是中学生"是"某人是学生"的充分不必要条件.从集合的角度加深了我们对充要条件的直观性理解,也可以用图1-2-1表示.