直线与抛物线的位置关系

1.进一步理解抛物线的方程和几何性质，理解并掌握直线与抛物线的位置关系。 重点：直线与抛物线的位置关系．

难点：直线与抛物线的位置关系的探究与应用 方 法：合作探究 一新知导学

1．抛物线y2＝2px(p>0)的简单几何性质

(1)对称性：

(2)顶点：

(3)离心率：

(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__________.

(5)范围：

2.焦点弦的有关问题：

3.思考：任意一条直线与抛物线的位置关系，会有几种可能？

二．典型例题

例1：斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长。

练习1：顶点在原点，焦点在x轴的抛物线，截直线2x-y+1=0所得弦长为，则抛物线方程为 y2=12x或y2=-4x 。

例2：过抛物线焦点F的直线交抛物线与A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线与点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。

例3：已知抛物线的方程为y2=4x，直线L过定点P（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线L与抛物线y2=4x：只有一个公共点；俩个公共点；没有公共点。

练习3：已知抛物线C：y2=-2x，过点P（1，1）的直线L斜率为k，当k取何值时，直线与抛物线有且只有一个公共点，两个公共点，无公共点。

例4：（2015黑龙江哈师大附中高二期中测试）已知抛物线x2=4y，直线y=x+2与抛物线交于A，B两点

（1）求的值

（2）求三角形OAB的面积。

练习4．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．

　　(1)求证：OA⊥OB；

　　(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．

例5：已知抛物线y2=x上存在两点关于直线L：y=k(x-1)+1对称，求实数k的取值范围。

练习5：已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求A、B两点间的距离．

牛刀小试

1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　)

A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0

C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0

2.直线y=x+1截抛物线y2=2px所得弦长为，此抛物线方程为( )

A y2=2x， B y2=6x， C y2=-2x或y2=6x， D以上都不对。

3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________________．

4.已知抛物线C：y2=2px（p0）的准线为L，过M(1,0)且斜率为的直线与L相交于A，与C的另一个交点为B，若,则p=

5. 已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．

6.已知抛物线y2=4x一条过焦点的弦AB，A（x1，y1）B（x2，y2），AB所在直线与y轴交点为（0，2）则= （ ）

7.求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．

8．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)

　　A．2或－2 B．－1

　　C．2 D．3

9．抛物线y＝x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是(　　)

　　A．(2，－1)　　 B．(1，－1)

　　C．(，－) D．(，－)

10．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)的值是(　　)

　　A．12 B．－12

　　C．3 D．－3

11．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　)

　　A．有且仅有一条 B．有且仅有两条

　　C．有无穷多条 D．不存在

　　12．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是(　　)

　　A．1 B．2

　　C. D.

　　13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＋\s\up6(→(→)＝0，则|\s\up6(→(→)|＋|\s\up6(→(→)|＋|\s\up6(→(→)|等于(　　)

　　A．9　　 　 B．6　　

　　C．4　　 　 D．3

　　二、填空题

　　14．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，当水面升高1 m后，水面宽度是__________________m.

　　15．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是__________________．

　　16．(2015·山东临沂市高二期末测试)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线交于点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＋y的最小值为(　　)

　　A．4　　 B．6　　 　

C．8　　 　　 D．10

　　17．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于(　　)

　　A. B．2　　　　

　　C.　　　　 D.

　　18．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于A、B两点，则线段AB中点的坐标为(　　)

　　A．(，－) B．(，)

　　C．(－，－) D．(－，)

　　19．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)

　　A.　 B. C. D.

　　20．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为__________________．

　　练习4[解析]　(1)如图所示，由，消去x得，ky2＋y－k＝0.

　　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－.

　　∵A，B在抛物线y2＝－x上，

　　∴y＝－x1，y＝－x2，∴y·y＝x1x2.

　　∵kOA·kOB＝·＝＝＝－1，∴OA⊥OB.

　　(2)设直线与x轴交于点N，显然k≠0.

　　令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)．

　　∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN

　　＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，

　　∴S△OAB＝·1·

　　＝.

　　∵S△OAB＝，

　　∴＝，解得k＝±.

牛刀小试1[答案]　C

3[答案]　y＝x

8[答案]　A9[答案]　C10[答案]　D11[答案]　B12[答案]　D13[答案]　B

　　14[答案]　415[答案]　216[答案]　C17[答案]　C18[答案]　B 19的20[答案]　k>或k<－

　　 [答案]　D

　　二、填空题

　　5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(3,1)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是______________________．

　　[答案]　4

　　6．在已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M、N关于直线y＝kx＋对称，则k的取值范围为__________________．

　　[答案]　k>或k<－

　　三、解答题

　　7．已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥ OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．

　　8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．

　　(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

　　(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

课堂随笔:

后记与感悟: