§4 & §5平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质
[对应学生用书P39]
1.平面截圆锥面
(1)当截面β与圆锥面的轴l垂直时,所得交线是一个圆.
(2)任取一平面β,它与圆锥面的轴l所成的夹角为θ(β与l平行时,记θ=0°),当θ>σ(σ为圆锥母线与轴交角)时,平面截圆锥面所得交线为椭圆;当θ=σ时,交线为抛物线;当θ<σ时,交线为双曲线.
2.圆锥曲线的几何性质
抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹,此时定点称为焦点,定直线称为准线.
当e=1时,轨迹为抛物线;
当0 当e>1时,轨迹为双曲线. 1.当平面β与圆锥面的轴l所成的夹角为θ=时,其交线应为什么? 提示:圆 2.由圆锥曲线的统一定义可知,椭圆、双曲线的准线有几条?定义e时,定点与定直线有怎样的关系? 提示:因为椭圆、双曲线各有两个焦点,故其准线有两条.定义e时,定点与定直线是对应的.即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线. [对应学生用书P40] 圆锥曲线的探讨
[例1] 在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面γ,若它与轴l的交角为β(当γ与l平行时,记β=0),求证:β=α时,平面γ与圆锥的交线是抛物线.