2019-2020学年北师大版选修2-2 综合法和分析法 学案

题型一　综合法的应用

例1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.

证明　方法一　∵a，b是正数，且a＋b＝1，

∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.

方法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，

＋≥2 >0，

∴(a＋b)≥4.

又a＋b＝1，∴＋≥4.

方法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4.当且仅当a＝b时，取"＝"号.

反思与感悟　利用综合法证明问题的步骤：

(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.

(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.

(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.

跟踪训练1　已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.

证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，

即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

又∵a，b，c互不相等.

∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.

题型二　分析法的应用

例2　已知a＞5，求证－＜－.