4.3　直线与圆锥曲线的交点

学习目标　1.会求曲线的交点.2.掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定.3.理解弦长公式及其求解与应用.

知识点一　两条曲线的交点

在平面直角坐标系xOy中，给定两条曲线C1，C2，它们由如下方程确定：

C1：f(x，y)＝0，C2：g(x，y)＝0.

求曲线C1和C2的交点，即要求出这些交点的______.

设M(x0，y0)是曲线C1和C2的一个交点.因为点M在曲线C1上，所以它的坐标满足方程f(x，y)＝0；因为点M在曲线C2上，所以它的坐标也满足方程g(x，y)＝0.从而，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.

知识点二　直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆的三种位置关系

当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆相交；当直线与椭圆只有一个交点时，称直线与椭圆相切；当直线与椭圆没有交点时，称直线与椭圆相离.

2.直线与椭圆位置关系的判定

直线与椭圆位置关系的判定方法和直线与圆的位置关系的判定方法相同，即可以转化为直线与椭圆的方程所组成的方程组的求解问题，从而用代数方法来判断直线与椭圆的位置关系.

具体的步骤为：

(1)联立成方程组；

(2)消元，转化为一元二次方程；

(3)计算Δ＝b2－4ac.

当Δ＞0时，直线与椭圆相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与椭圆相切，有且只有一个交点；当Δ＜0时，直线与椭圆相离，没有交点.

知识点三　直线与双曲线的位置关系

已知双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0).

(1)当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m.

将双曲线方程与直线方程联立成方程组，消去y，整理得(b2－a2k2)x2－2mka2x－a2(m2＋b2)＝0.(*)