2.3　平面向量的数量积

2.3.1　向量数量积的物理背景与定义

2.3.2　向量数量积的运算律

学习目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．(重点)3.掌握数量积的运算性质，并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题．(重点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．向量的夹角

定义 已知两个非零向量a和b，作\s\up8(→(→)＝a，\s\up8(→(→)＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 范围 0°≤θ≤180° 特例 θ＝0° a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b，规定零向量可与任一向量垂直 2.向量的数量积

向量在轴上的正射影．已知向量a和轴l，如图．

图2­3­1

(1)正射影的概念：作\s\up8(→(→)＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量\s\up8(→(→)叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)；

(2)正射影的数量：该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.\s\up8(→(→)＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos θ.

3．平面向量数量积的定义

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积，记作|a||b|cos〈a，b〉．

4．数量积的性质