2.3 充要条件
学习目标 1.了解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断.
知识点一 充要条件的概念
思考 若设p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数,则p是q的什么条件?q是p的什么条件?
答案 因为p⇒q且q⇒p,所以p是q的充分条件也是必要条件;同理,q是p的充分条件,也是必要条件.
梳理 一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
知识点二 充要条件的判断
1.由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为"若p,则q",则逆命题为"若q,则p",那么p与q有以下四种情形:
原命题 逆命题 条件p与结论q的关系 结论 真 假 p⇒q,但q⇏ p p是q成立的充分不必要条件 假 真 q⇒p,但p⇏q p是q成立的必要不充分条件 真 真 p⇒q,q⇒p,即p⇔q p是q成立的充要条件 假 假 p⇏q,q⇏p p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法:原命题和逆命题均为真命题,p才是q的充要条件.
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B,则p是q的充分条件,若A(B,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若B(A,则p是q的必要不充分条件