§1.4　全称量词与存在量词

　　知识点一　全称命题与特称命题的判断

　　　判断下列语句是全称命题，还是特称命题：

　　(1)凸多边形的外角和等于360°；

　　(2)有的向量方向不定；

　　(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

　　(4)有些素数的和仍是素数；

　　(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

　　分析　先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．

　　解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

　　(2)含有存在量词"有的"，故是特称命题．

　　(3)含有全称量词"任意"，故是全称命题．

　　(4)含有存在量词"有些"，故为特称命题．

　　(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

　　知识点二　判断全称或特称命题的真假

　　　试判断以下命题的真假：

　　(1)∀x∈R，x2＋2>0；

　　(2)∀x∈N，x4≥1；

　　(3)∃x∈Z，x3<1；

　　(4)∃x∈Q，x2＝3.

　　分析　要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的"举出一个反例")．

　　要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

　　解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，

　　即x2＋2>0.所以命题"∀x∈R，x2＋2>0"是真命题．

　　(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．

　　所以命题"∀x∈N，x4≥1"是假命题．

　　(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1.

　　所以命题"∃x∈Z，x3<1"是真命题．

(4)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理