椭圆双曲线定义与几何性质的应用

　　圆锥曲线的定义是圆锥曲线一切几何性质的根本,是曲线方程的本源.定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式,巧用定义,可以既快又准的解决某些数学问题.从而引起学生对定义、概念的高度重视,激发学生对定义、概念的学习兴趣.

　　在圆锥曲线中要注意椭圆、双曲线、抛物线的定义在解题中的应用，这三个定义的应用主要体现在两个方面，一个是根据定义判断曲线的类型，为求曲线的方程做铺垫；二是在已知曲线类型的情况下，利用定义可将曲线上的点到焦点的距离进行转化，为问题的解决带来新的方向和思路.

　　定义法是解决解析几何中较常用的一种基本方法.同学们平时在解决圆锥曲线问题时,要有意识的去运用定义,这样既可以加深对定义、概念的理解,还可以简化解题过程,发现其中的内在规律.

一.例题精讲 破解规律

例1.设椭圆的两个焦点是、，过的直线与椭圆交于、，若，且，则椭圆的离心率为__________．

分析:题目中给的三角形是椭圆问题常见的三角形:其中一个顶点为焦点,其对边为椭圆的一条焦点弦.常见的处理方法是把它看出两个焦点三角形,再根据椭圆定义,结合正弦定理或余弦定理进行求解.本题中给出很多长度关系,结合椭圆定义,我可以将图形中的长度用a,b,c表示,再利用余弦定理得到一个a,b,c的齐次式,从而求出离心率e.

解析:画出图形如下图所示.

由椭圆的定义可知： 。

∵，∴，∴.

∵，∴，∴。

在中，由余弦定理可得： ,

在中，由余弦定理可得： 。

∵，∴，

∴,整理得，∴.