3.2.2 复数代数形式的乘除运算
问题导学
一、复数的乘法、除法运算
活动与探究1
1.若复数z=1+i,i为虚数单位,则(1+z)·z=( ).
A.1+3i B.3+3i
C.3-i D.3
2.设i是虚数单位,复数2-i(1+ai)为纯虚数,则实数a为( ).
A.2 B.-2 C.-2(1) D.2(1)
迁移与应用
1.设复数z1=1+i,z2=x+2i(xR),若z1z2为纯虚数,则x=( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.已知x,yR,且1+i(x)+1+2i(y)=1+3i(5),求x,y的值.
复数乘除运算法则的理解:
(1)复数的乘法可以把i看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).
(2)复数乘法可推广到若干个因式连乘,且满足乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律.
二、共轭复数的应用
活动与探究2
1.若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+2的虚部为( ).
A.0 B.-1
C.1 D.-2
2.复数z=1+i,求实数a,b,使az+2b=(a+2z)2.
迁移与应用
1.复数z=2(3+i),是z的共轭复数,则z·=( ).
A.4(1) B.2(1) C.1 D.2
2.若复数z满足i=i-1,则z=________.
1.若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式,再根据共轭复数的定义求.
2.掌握共轭复数的概念注意两点:
(1)结构特点:实部相等、虚部互为相反数;
(2)几何意义:在复平面内,两个共轭复数对应的点关于实轴对称.
三、虚数单位i的幂的周期性
活动与探究3
i为虚数单位,i(1)+i3(1)+i5(1)+i7(1)=( ).
A.0 B.2i
C.-2i D.4i
迁移与应用
已知z=2(1+i),则1+z50+z100的值是( ).
A.3 B.1 C.2+i D.i