§3．1.3　空间向量的数量积运算

　　知识点一 求两向量的数量积

　　如图所示，已知正四面体O-ABC的棱长为 a，

　　求·..



　　解 由题意知 | | = | | = | | = a，且〈，〉= 120°，〈 ，〉= 120°，

　　· =·（ ）

　　　= ·· ,

　　　= a2cos120°a2cos120°＝0

【反思感悟】 在求两向量的夹角时一定要注意两向量的起点必须在同一点，如〈，\s\up6(→(→)〉＝60°时，〈 ，\s\up6(→(→)〉＝120°.

已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：

　　（1）· ；

　　（2）· ；

　　（3）· .

　　解 如图所示，设＝a，\s\up6(→(→)＝b，\s\up6(→(→)＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.

　　（1） · = b·［ （c a ）+b］= | b |2 = 42 = 16 ..

(2)· = （c a +b ）·（ a + c ）= | c |2| a |2 = 22 22 = 0.

　　（3）· = [(c－a)＋b]·(b＋a)＝(－a＋b＋c)·(b＋a)＝－|a|2＋|b|2＝2.

　　　知识点二 利用数量积求角