不等式证明四（反证法与放缩法）

一、反证法：

有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明，

即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的。

例1、 若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2。

反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾，∴原式成立

例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：（1）设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾

（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0

同理可证：b > 0, c > 0

例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

　 证：设(1  a)b >, (1  b)c >, (1  c)a >,

则三式相乘： (1  a)b•(1  b)c•(1  c)a > ①

又∵0 < a, b, c < 1 ∴

同理：,

　　　以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤ 与①矛盾.

　　　∴(1  a)b, (1  b)c, (1  c)a,不可能同时大于

二、放缩法：

在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易