[真题研究]

　　一道高考解析几何试题的命题背景可能就是圆锥曲线的一个性质定理的特殊情况．如果掌握了定理的原理，也就把握了试题的本质．对一些典型的试题，不应满足于会解，可以引导学生深入探究试题背后的知识背景，挖掘问题的本质．这样才能真正找到解决问题的方法，学会用更高观点去看待数学问题，把握问题的本质．正如《普通高中数学课程标准(实验)》所倡导的数学探究性课题学习，引导学生围绕某个数学问题，观察分析，自主探究，提出有意义的数学问题，探求适当的数学结论和规律．

一、试题展示

题1　(2018·全国Ⅰ)如图1所示，设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM＝∠ABN.

(1)解　当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．

所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.

(2)证明　当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，

所以∠ABM＝∠ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，

M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.

由得ky2－2y－4k＝0，显然方程有两个不等实根．

所以y1＋y2＝，y1y2＝－4.

直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.①