课题 2.1.1　数列的概念与简单表示法(一)

（共 1 课时） 教学

目标 一、知识与技能

1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；

2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对 学的探究精神和严肃认真的 学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；

2.通过本节课的学习，体会数学 于生活，提高数学学习的兴趣. 教学重、

难点 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 教学

准备 多媒体课件 教学

过程

导入新课

师 课本图211中的正方形数分别是多少？

生 1，3，6，10，....

师 图212中正方形数呢？

生 1，4，9，16，25，....

师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？

生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，...;

无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，....

生 一些分数排成的一列数：，，，，，....

推进新课

［合作探究］

折纸问题

师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).

生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，...，256，...；①

随着对折数面积依次为, , , ,..., ,....

生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1 256式，再折下去太困难了.

师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？

生 均是一列数.

生 还有一定次序.

师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.

［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

注意：

（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，...，第n项，....同学们能举例说明吗？

生 例如，上述例子均是数列，其中①中，"2"是这个数列的第1项(或首项)，"16"是这个数列中的第4项.

3.数列的分类：

1)根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6...是无穷数列.

2)根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.

常数数列：各项相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？

生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.

［知识拓展］

师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？

生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.

［合作探究］

同学们看数列2，4，8，16，...，256，...①中项与项之间的对应关系，

项　　　2　　4　　8　　16　　32

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

你能从中得到什么启示？

生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N (或它的有限子集{1，2，3，...，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4...)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),...,f(n),....

师 说的很好.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

［例题剖析］

1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：

(1)an=;(2)an=(-1)n·n.

师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.

生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.

(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.

师 好！就这样解.

2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)3，5，7，9，11，...；(2)，，，，，...；

(3)0，1，0，1，0，1，...；(4)1，3， 3，5，5，7，7，9，9，...；

(5)2，-6，12， -20，30，-42，....

师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)

生老师，我写好了！

解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；

(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，...，

∴an＝n＋；

(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，...，

∴an＝(-1)n+1n(n＋1).

师 完全正确！这是由"数"给出数列的"式"的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.

［合作探究］

师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：

函数 数列(特殊的函数) 定义域 R或R的子集 N 或它的有限子集{1，2，...，n} 解析式 y=f(x) an=f(n) 图象 点的集合 一些离散的点的集合 师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:

4，5，6，7，8，9，10...;②　1, , , ,...③的图象.

生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师 数列4，5，6，7，8，9，10,...②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.

师 数列1, , , ,...③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

生 与我们学过的反比例函数的图象有关.

师 这两数列的图象有什么特点？

生 其特点为：它们都是一群孤立的点.

生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.

本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.

课堂小结

　　对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.

布置作业

课本第38页习题2.1 A组第1题.