§3.2.5　　综合问题

【学情分析】：

　　教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。

【教学目标】：

（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法"三步曲"；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．

（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：坐标法与向量法结合.

【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．

【课前准备】：Powerpoint课件

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入

　　教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识"三步曲"各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。

　　立体几何中的向量方法可以归纳为三步：( l ）把几何问题转化为向量问题；( 2 ）进行向量运算；〔 3 ）由向量运算解释几何问题。 有助于加强学生对解题通法的整体认识． 二、问题与探究

　　一、问题探究

　　问题1 ：阅读课本上的例4 ，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？

　　学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．

　　问题2 ：从例4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？

　　教师引导学生关注己知条件中有"三条线段两两垂直且彼此相等"这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P , A ，Ｂ，Ｃ , D , E 的坐标．并进一步写出 等的坐标．

　　问题3 ：考虑例4 ( 1 ) ，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？

　　教师从"ＰＡ∥平面ＥＤＢ"出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA 与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出 的坐标，并由 ＝k 证出ＰＡ∥ＥＧ ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。

　　问题4 ：考虑例4 ( 2 ) ，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？

教师从"ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发"，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？

在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）

· ＝０， ⊥ ，

　　ＰＢ⊥ＤＥ　ＰＢ⊥平面ＥＦＤ

　　问题5 ：考虑例4( 3 ) ，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？

　　教师从"计算二面角C 一PB 一D 的大小"出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一PB 一D 的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？

　　教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？

　　让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos ∠EFD＝ 计算∠EFＤ 的过程

　　问题6 ：考虑例4 后的思考题．

　　学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．

　　二、问题解答

　　解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1

　　(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG

　　三、小结立体几何中的不同方法．

　　教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套． 通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路．

初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力．

找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解．

找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的 "数量积为0 "的几何意义的认识。

计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握．

思考题1 可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2 可以加强不同方法之间的联系．

加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识．