第五节 反函数

一、复习目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题。

二、重难点：反函数的求法，反函数与原函数的关系。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程

（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

新课标要求及考纲要求：1、了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题。2、不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数。3、其次在于确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。

高考命题考查情况简析：确定函数三要素、求反函数等内容的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合。因此求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题，是高考命题的重点。预测2010年高考，会以选择题或填空题的形式考查，难度不会大，以求一些简单函数的反函数掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用与的性质解决一些问题仍为命题重点来考查。

（二）、知识梳理整合，方法定位。（学生完成复资P20填空题，教师准对问题讲评）

1、反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出，若对于C中的每一个值y，在A中都有唯一的一个值和它对应，那么叫以y为自变量的函数，这个函数叫函数y=f(x)的反函数，记作，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作。

注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f(x)，达到以y表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成y，y换成x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。

3、关于反函数的性质：（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；（5）f-1[f(x)]=x;（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f-1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上；（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同。