高手支招3综合探究

试探究如何进行归纳推理

归纳推理是根据一类事物的几个特殊对象具有某种属性F,而作出该类事物都具有属性F的结论的推理.

归纳推理的基本形式是:

∵A1具有性质F,A2具有性质F,...,An具有性质F,(A1,A2,...,An都属于A)

∴A类事物都具有性质F.

归纳推理的基础是对个别或部分对象的实验和观察,而缺乏对全体对象的考察,因而所得的结论具有偶然性,只能称之为归纳猜想,其正确与否是需要严格论证的.

例如，f(x)=(x-1)(x-2) ...(x-100)+2,

∵f(1)=2,f(2)=2, ...,f(100)=2.∴由此归纳猜想f(n)=2(n∈N+).

但这一结果是错误的,事实上f(101)≠2,可见不完全归纳推理得出的结论是不可靠的,还需要进一步作出判断.

高手支招4典例精析

【例1】设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )

思路分析：对于图A,当f(x)=ax2时,y=f′(x)的图象恰好为直线,故有可能;

对于图B,单调递增的函数为y=f(x),单调递减的函数为y=f′(x),也是可能的;

对于图C,下面的曲线为y=f(x)的图象,上面的曲线为y=f′(x)的图象,f′(x)＞0,f(x)单调增，这也是有可能的;

而对于图D,由于两个曲线均含有递增区间和递减区间,无论哪一个为y=f(x)的图象,y=f′(x)必然在x轴上方与下方均有图象.显然,图D中的两个曲线都不满足这一要求.

答案：D

【例2】中学数学中存在许多关系，比如"相等关系""平行关系"等等.如果集合A中元素之间的一个关系"-"满足以下三个条件：

（1）自反性：对于任意a∈A，都有a-a;

(2)对称性：对于a,b∈A,若a-b,则有b-a;

(3)传递性：对于a,b,c∈A，若a-b,b-c,则有a-c.

则称"-"是集合A的一个等价关系.例如："数的相等"是等价关系，而"直线的平行"不是等价关系（自反性不成立）.请你再列出三个等价关系：______________.

思路分析：答案不唯一，只要满足题目中的三个等价关系即可.

答案：如"图形的全等""图形的相似""非零向量的共线""命题的充要条件"等等

【例3】应用归纳推理推测的值.

思路分析：利用归纳推理来猜测,应先给出n的一些不同的数值,观察出现结果的相同性质,从而推导出有关的结论.

解：对式子中的n分别取1,2,3...,进行观察.

n=1时,=3,